Claudiu Bleonț a urmat Institutul de Artă Teatrală şi Cinematografică I.L. Caragiale, Bucureşti, clasa profesor Grigore Gonţa, promoţia 1983.
Rolurile de absolvire au fost Ghiţă Coşcodan – „Agachi Flutur” de Vasile Alecsandri, regia Grigore Gonţa; Melchior Gabor – „Deşteptarea primăverii” de Frank Wedekind, regia Gina Guzina
Printre altele a fost distins cu Premiul presei „Coup de Coeur de la presse” la Festivalul de la Avignon 2007, secţiunea Off, pentru spectacolul „Himnus” de Gyorgy Schwajda, în regia lui Radu Dinulescu, Teatrul Fani Tardini din Galaţi, Premiul pentru cel mai bun actor, la Festivalul de Comedie, Galaţi, pentru „Caii la fereastră” de Matei Vişniec, regia Radu Dinulescu, 2006 și Premiul pentru cel mai bun actor pentru rolul El din piesa „Un bărbat şi mai multe femei”, Teatrul Petroşani, regia proprie.
În urmă cu doi ani, Claudiu Bleonț și-a spus povestea vieții sale într-o ediție emoționantă La Radio cu Andreea Esca.
